ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78076
Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка O — центр круга, описанного около треугольника ABC. Точки A1, B1 и C1 симметричны точке O относительно сторон треугольника ABC. Докажите, что все высоты треугольника A1B1C1 проходят через точку O, а все высоты треугольника ABC проходят через центр круга, описанного около треугольника A1B1C1.

Решение

Пусть A2, B2, C2 — середины сторон CB, BA, AC. Ясно, что OA2$ \bot$BC и BC || B2C2 || B1C1. Поэтому OA1$ \bot$B1C1, т.е. OA1 — высота треугольника A1B1C1. Аналогично доказывается, что OB1 и OC1 тоже являются высотами. Ясно также, что B1C1 = 2B2C2 = BC, поэтому BCB1C1 — параллелограмм. Это означает, что отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке P, которая является их серединой. Аналогично доказывается, что точка P является серединой отрезка AA1. Таким образом, при симметрии относительно точки P треугольник ABC переходит в треугольник A1B1C1. При этой симметрии точка O, которая является центром описанной окружности треугольника ABC и точкой пересечения высот треугольника A1B1C1, переходит в точку, которая является центром описанной окружности треугольника A1B1C1 и точкой пересечения высот треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 19
Год 1956
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .