|
|
 |
Условие
В данный треугольник поместить центрально-симметричный многоугольник наибольшей площади.
Решение
Пусть O – центр симметрии многоугольника M, расположенного внутри треугольника T, S(T) – образ треугольника T при симметрии относительно
точки O. Тогда M лежит и в T, и в S(T). Поэтому среди всех центрально симметричных многоугольников с данным центром симметрии, лежащих в T, наибольшую площадь имеет пересечение T ∩ S(T). Точка O лежит внутри треугольника T, так как T ∩ S(T) – выпуклый многоугольник.
Пусть A1, B1, C1 – середины сторон BC, CA, AB треугольника T = ABC. Рассмотрим два случая.
1) Точка O лежит внутри треугольника A1B1C1. Тогда пересечением T ∩ S(T) – шестиугольник. Пусть сторона AB делится сторонами треугольника S(T) в отношении x : y : z, где x + y + z = 1. Тогда отношение суммы площадей треугольников, прилегающих к вершинам A, B, C, к площади треугольника ABC равно x² + y² + z². Из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным (см. задачу 61402 б) следует, что
x² + y² + z² ≥ ⅓ (x + y + z)² = ⅓, причём равенство достигается только при x = y = z. Последнее означает, что O – точка пересечения медиан треугольника ABC.
2) Точка O лежит внутри треугольника AB1C1. В этом случае пересечением T ∩ S(T) является параллелограмм, причём если мы заменим точку O точкой пересечения прямых AO и B1C1, то площадь этого параллелограмма не уменьшится. Если же точка O лежит на стороне B1C1, то этот случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить x = 0).
Ответ
Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках, делящих
стороны треугольника на три равные части.
Его площадь равна ⅔ площади треугольника.
