Задача 61402

Тема:    [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Выведите из неравенства задачи 61401

  а) неравенство Коши-Буняковского:  

  б) неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным:   ≤ ;

  в) неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим:   ≤ .
  Значения переменных считаются положительными.

Решение

  а) Первый способ. Рассмотрим функцию
    Поскольку она неотрицательна, её дискриминант неположителен, то есть  
  Второй способ. Положим     и применим неравенство из задачи 61401.

  б) Согласно неравенству Коши Буняковского     что и требовалось.

  в) Согласно неравенству Коши Буняковского   .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	2
Название	Суммы и минимумы
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.051