Задача 76536

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Производящие функции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Определить коэффициенты, которые будут стоять при x¹⁷ и x¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении

(1 + x⁵ + x⁷)²⁰.

Решение

Число 18 нельзя представить в виде суммы чисел 5 и 7, поэтому коэффициент при x¹⁸ будет равен нулю. Число 17 представляется в виде суммы чисел 5 и 7 следующим образом:  17 = 7 + 5 + 5;  с точностью до перестановки слагаемых это представление единственно. В одном из 20 множителей  1 + x⁵ + x⁷  мы должны выбрать x⁷, а в двух из 19 оставшихся   x⁵. Поэтому коэффициент при x¹⁷ равен 20·19·18 : 2 = 3420.

Ответ

3420 и 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	10
Год	1947
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	1