Задача 76496

Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Покрытия ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Условие

Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса r = 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.

Решение

Рассмотрим круг, содержащий все данные точки. Будем уменьшать радиус такого круга до тех пор, пока это возможно. Пусть R — радиус полученного круга. На границе этого круга лежат по крайней мере две данные точки. Рассмотрим сначала случай, когда на границе лежат ровно две точки A и B. Ясно, что они -- диаметрально противоположные точки круга. Возьмём третью данную точку C. Минимальный радиус круга, содержащего точки A, B и C, равен R, поэтому R1. Рассмотрим теперь случай, когда на границе лежат ровно три данные точки A, B и C. Тогда треугольник ABC остроугольный, поскольку иначе можно было бы уменьшить радиус круга, содержащего все данные точки. Поэтому снова минимальный радиус круга, содержащего точки A, B и C, равен R. Рассмотрим наконец случай, когда на границе лежат по крайней мере четыре данные точки. Пусть , , ..., — угловые величины последовательных дуг, на которые данные точки разбивают границу круга. Если сумма угловых величин двух последовательных дуг не больше 180^o, то сотрём их общую точку. Покажем, что при n4 такая пара последовательных дуг всегда найдётся. Предположим, что + > 180^o, + > 180^o, ..., + > 180^o. Сложив эти неравенства, получим 2( + + ... + ) > n ^. 180^o, а значит, 4 ^. 180^o > n ^. 180^o. Получено противоречие. Таким образом, на границе полученного круга лежат либо две диаметрально противоположные данные точки, либо три данные точки, являющиеся вершинами остроугольного треугольника. Такие случаи мы уже разбирали.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	7
Год	1941
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	2