ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76440
Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решить систему:
   x + y + z = a,
   x
² + y² + z² = a²,
   x³ + y³ + z³ = a³.


Решение

Из тождества  (x + y + z)² – (x² + y² + z²) = 2(xy + yz + xz)  находим, что  xy + yz + xz = 0.  Из тождества
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz)  (см. задачу 61005 г) получаем, что  xyz = 0.  Таким образом, x, y, z – корни кубического уравнения  x³ – ax² = 0.


Ответ

{a, 0, 0}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 3
Год 1937
вариант
Тур 1
задача
Номер 1
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 5
Название Теорема Виета
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.110

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .