ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73827
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шлейфер Р.

На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?


Решение

  Ясно, что любое написанное на доске число будет заключено между 0 и 50. Кроме того, оно нечётно (см. решение задачи 30303).
  Покажем, что любое из нечётных чисел от 1 до 49 может получиться. Пусть мы хотим получить число  2m + 1  (m = 0, 1, ..., 24).  Разобьём числа от 1 до 50 на пары так:  (1, 2m + 2),  (2, 3),  (4, 5),  ...,  (2m, 2m + 1),  (2m + 3, 2m + 4),  ...,  (49, 50).  Запишем вместо каждой пары модуль разности входящих в неё чисел:  2m + 1,  1, ..., 1  (24 единицы). Осталось избавиться от единиц. Для этого можно, разбив их на пары, получить 12 нулей, а потом избавиться и от нулей (вместо пары  (a, 0)  мы можем писать одно число  |a – 0| = a).


Ответ

Любое из 25 чисел 1, 3, 5, ..., 49.

Замечания

Когда вначале на доске выписаны числа от 1 до n, в конце может получиться любое целое число k от 0 до n той же чётности, что  ½ n(n + 1)  (то есть k чётно, если n даёт при делении на 4 остаток 3 или 0, и нечётно, если остаток 1 или 2).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М292

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .