ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73809
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шлейфер Р.

Найдите наименьшее число вида   а)  |11k – 5n|;   б)  |36k – 5n|;   в)  |53k – 37n|,  где k и n – натуральные числа.


Решение

  а) Если  11k > 5n,  то число  |11k – 5n|  оканчивается на 6; если  11k < 5n,  то на 4.
Поскольку  |112 – 53| = 4,  то 4 – наименьшее число вида  |11k – 5n|.

  б) Число  |36k – 5n|  оканчивается на 1 или на 9.
  Заметим, что  |361 – 52| = 11,  и докажем, что 11 – наименьшее число такого вида, то есть что  |36k – 5n|  не может равняться ни 1, ни 9.
  1) Если  36k – 5n = 1,  то  (6k – 1)(6k + 1) = 5n.  Но  6k + 1  не может быть степенью 5, так как оканчивается на 7.
  2) Если  5n – 36k = 9,  то  5n = 9 + 36k,  чего также не может быть, так как правая часть делится на 9, а левая – нет.

  в)  |53k – 37n| = |(4·13 + 1)k – (4·9 + 1)n|,  то есть делится на 4.
  С другой стороны,  |53k – 37n| = |(6·9 – 1)k – (4·9 + 1)n|.  Поэтому при делении такого числа на 9 в остатке могут получаться только 0, 2 и –2
  Наименьшее число, удовлетворяющее этим двум условиям – это  16 = 53 – 37.


Ответ

а)  4;   б)  11;   в)  16.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М274

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .