Условие
Квадрат $ABCD$ и равносторонний треугольник $DEF$ расположены так, как показано на рисунке (точка $E$ лежит на диагонали $BD$, точка $C$ лежит на стороне $EF$). Докажите, что $BE=CF$.
Решение 1
В треугольниках $BCE$ и $CDF$ стороны $BC$ и $CD$ равны (как стороны квадрата), но всё же эти треугольники не равны: в одном из них против стороны квадрата лежит угол $120^\circ$, а во втором $60^\circ$.
Отметим на отрезке $FD$ такую точку $G$, что $FG=FC$. В треугольнике $CFG$ две стороны равны и есть угол $60^\circ$, поэтому он равносторонний и все его углы по $60^\circ$ (см. рис.). Треугольники $BCE$ и $CDG$ уже больше похожи на равные, в частности, углы $E$ и $G$ оба равны внешнему углу правильного треугольника (т.е. $180^\circ-60^\circ=120^\circ$).
Заметим, что в них есть и ещё одна пара равных углов:
$\angle EBC=45^\circ$ как угол между диагональю и стороной квадрата,
но и угол $DCG$ равен углу $CDE$ (ведь $CG$ и $ED$ параллельны),
который является углом между диагональю и стороной квадрата. Значит,
равны и оставшиеся углы этих треугольников, и вообще эти треугольники
равны (по стороне и прилежащим углам). В частности,
$BE=CG$. Ну а $CG=CF$ как стороны равностороннего треугольника $CFG$.
Решение 2
Отложим на $BD$ от точки $D$ отрезок
$DH = BE$ (см. рис.).
Вместо того, чтобы сравнивать отрезки $CF$ и $BE$, сравним
$EC = EF - CF$ и $EH = DE - DH = EF - BE$. Рассмотрим треугольники
$BCE$ и $DCH$: $BC = DC$ как стороны квадрата, $BE = DH$ по
построению, и углы $EBC$ и $EDC$ равны как углы между диагональю и
стороной квадрата. Значит, эти треугольники равны, и $EC = EH$.
В равнобедренном треугольнике $ECH$ угол $CEH$ равен $60^\circ$,
значит, и все его углы равны по $60^\circ$, а $EH = EC$, откуда
$EF - CF = DE - DH = EF - BE$ и $BE = CF$.
Замечания
Можно решить задачу и начиная с других дополнительных построений – например, проведя через точку $E$ прямую, параллельную $AD$.
Источники и прецеденты использования
