Задача 67553

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бельский К.

Правильный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$, $\Omega_C$ с центрами $A$, $B$, $C$ соответственно проходят через точку $P$, лежащую на $\Omega$, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника $ABC$.

Решение 1

Пусть точка $P$ лежит на дуге $AB$ окружности $\Omega$. Тогда по теореме Помпею $PC=PA+PB$, поэтому длина общей касательной к окружностям $\Omega_A$ и $\Omega_C$ равна $\sqrt{AC^2-(PC-PA)^2}=\sqrt{BC^2-PB^2}$, т.е. длине касательной из $C$ к окружности $\Omega_B$. Аналогично, длина общей касательной к окружностям $\Omega_B$ и $\Omega_C$ равна длине касательной из $C$ к окружности $\Omega_A$. При этом, поскольку окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$, $\Omega_C$ касаются одной прямой, длина общей касательной к одной из пар этих окружностей равна сумме длин общих касательных к двум другим парам. Значит, это верно и для длин касательных из $C$ к окружностям $\Omega_A$, $\Omega_B$ и длины общей касательной к этим окружностям. Следовательно, одна из общих касательных к $\Omega_A$, $\Omega_B$ проходит через $C$.

Решение 2

Обозначим через $\ell$ общую касательную к окружностям $\Omega_A$, $\Omega_B$ и $\Omega_C$. Предполагая, как и в первом решении, что $P$ лежит на дуге $AB$, докажем, что отражение прямой $\ell$ относительно прямой $AB$ проходит через вершину $C$, то есть является искомой касательной. Для этого достаточно показать, что точка $C'$, симметричная точке $C$ относительно середины $M$ отрезка $AB$, лежит на прямой $\ell$. Поскольку $PC=PA+PB$, расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$, равное $(PA+PB)/2$, в два раза меньше расстояния от точки $C$ до $\ell$. Следовательно, при отражении точки $C$ относительно $M$ она перейдёт в точку, лежащую на $\ell$.

Замечания

Точка $P$, удовлетворяющая условию, является точкой пересечения описанной и вневписанной окружностей треугольника. При этом утверждение, что окружности с центрами $A$, $B$, $C$, проходящие через $P$, касаются одной прямой, верно для произвольного треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
класс
Класс	8
задача
Номер	8.7