Задача 67544

Темы:    [ Кривые второго порядка ] [ Построения с помощью вычислений ] [ Проективная геометрия (прочее) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Даны окружность и лежащий внутри нее эллипс с фокусами $F_1$, $F_2$. Постройте хорду окружности $AB$, касающуюся эллипса и такую, что четырехугольник $AF_1F_2B$ – вписанный.

Решение 1

Лемма. Пусть $AB$ – произвольная хорда, касающаяся эллипса. Тогда геометрическим местом центров окружностей $ABF_1$ является окружность.

Доказательство. Пусть $O$, $R$ – центр и радиус данной окружности; $O'$ – центр окружности $ABF_1$; $H$ – проекция $F_1$ на $AB$. Очевидно, что $OO' \parallel F_1H$.

Применяя теорему косинусов к треугольникам $O'OA$ и $O'OF_1$, получаем $$O'F^2_1 = O'O^2 + OF^2_1 - 2 \, OO'\cdot OF_1 \cos \angle O'OF_1,$$ $$O'A^2 = O'O^2 + R^2 - 2 \, O'O \cdot OA \cos \angle O'OA.$$ Вычитая из первого равенства второе, получаем $$R^2 - OF^2_1 = 2 \, O'O \, (OA \cos\angle O'OA - OF_1 \cos\angle O'OF_1).$$ Выражение в скобках представляет разность проекций отрезков $OA$ и $OF_1$ на прямую $OO'$ и, следовательно равно $F_1H$. Таким образом, произведение $OO' \cdot F_1H$ не зависит от хорды $AB$.

Пусть $E$ – полюс прямой $AB$ относительно некоторой окружности с центром $F_1$. Тогда $F_1E \parallel OO'$ и отношение $OO' : F_1E$ не зависит от $AB$, поскольку произведения $F_1H \cdot OO'$ и $F_1H \cdot F_1E$ не зависят от $AB$. Значит, прямая $O'E$ пересекает $OF_1$ в фиксированной точке $X$. Поэтому геометрическое место точек $O'$ гомотетично относительно $X$ полярному образу эллипса относительно $F_1$, который является окружностью.

Вернемся к задаче. Поскольку касательные к эллипсу можно построить циркулем и линейкой, мы можем построить геометрические места центров окружностей $ABF_1$ и $ABF_2$. Любая точка их пересечения является центром искомой окружности.

Решение 2

Обозначим через $D$ и $E$ точки пересечения данной окружности $\omega$ и прямой $F_1F_2$. Пусть $S$ на $F_1F_2$ это точка со свойством $SD \cdot SE = SF_1 \cdot SF_2$. Для построения этой точки можно построить любую окружность, проходящую через фокусы $F_1$ и $F_2$ и пересекающую $\omega$. Точка $S$ – это пересечение радикальной оси этих окружностей (общей хорды) и прямой $F_1F_2$. Пусть $\Omega$ – это окружность, диаметром которой является большая ось данного эллипса, $S'$ – точка инверсная $S$ относительно $\Omega$, $C$ – точка эллипса такая, что $CS' \perp F_1F_2$, $A$ и $B$ – точки пересечения $\omega$ и $CS$. Тогда $CS$ касается эллипса, а $AF_1F_2B$ является вписанным четырехугольником.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
Заочный тур
задача
Номер	22 [10-11 кл]