Условие
Внутри четырёхугольника $ABCD$ отметили точку $P$ такую, что $\angle APB + \angle CPD = 180^\circ$. Точки $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ изогонально сопряжены $P$ в треугольниках $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольников $ABCD$ и $P_aP_bP_cP_d$ совпадают.
Решение
Так как $\angle APB +\angle CPD = 180^\circ$, существует точка $Q$, изогонально сопряженная $P$ относительно четырехугольника $ABCD$. Тогда точки $P_c$, $P_a$ лежат соответственно на прямых $AQ$, $CQ$ так, что $\angle P_cBQ = \angle DBC$, $\angle P_aBQ = \angle DBA$.
Поэтому
$$\frac{AP_c}{P_cQ} = \frac{AB \sin \angle ABP_c}{BQ\sin \angle P_cBQ}, \; \frac{QP_a}{P_aC} = \frac{BQ\sin \angle QBP_a}{BC \sin \angle P_aBC}$$
и по теореме Менелая прямая $P_aP_c$ делит $AC$ в отношении $PA \sin \angle ABD : PC \sin \angle DBC$. Следовательно, эта прямая проходит через точку $L$ пересечения $AC$ и $BD$. Аналогично получаем, что $P_bP_d$ проходит через $L$.
Источники и прецеденты использования
