Условие
Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ касается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке $F$. Из середины $O$ гипотенузы $AB$ проведена касательная $OE$ к $\omega$, отличная от $AB$. Докажите, что $CE=CF$.
Решение
При гомотетии с центром $C$ и коэффициентом 2 точка $F$ перейдет в точку касания описанной и полувписанной окружностей треугольника. Поэтому прямая $CF$ симметрична относительно биссектрисы угла $C$ прямой, проходящей через точку касания гипотенузы с вневписанной окружностью. Пусть вписанная и вневписанная окружности касаются гипотенузы в точках $T$ и $S$ соответственно. Так как $OE=OT=OS$, получаем, что $\angle SET=\pi/2$, т.е. прямая $SE$ проходит через точку $\omega$, диаметрально противоположную $T$. Но прямая $SC$ также проходит через эту точку, следовательно, $E$ лежит на $SC$ и симметрична $F$ относительно биссектрисы угла $C$.
Источники и прецеденты использования
