|
|
 |
Условие
Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.Решение 1
Повернём 100-угольник так, чтобы у одного из треугольников была горизонтальная сторона.У каждого параллелограмма с горизонтальными сторонами покрасим верхнюю сторону в синий цвет, а нижнюю в красный. То же сделаем со всеми имеющимися горизонтальными сторонами треугольников: если треугольник снизу от стороны, красим её в синий, иначе — в красный. А если у 100-угольника есть горизонтальные стороны, то их покрасим наоборот: верхнюю в красный цвет, а нижнюю в синий.
Теперь каждый горизонтальный отрезок на рисунке покрашен один раз в синий цвет («снизу») и один раз в красный («сверху»), поэтому синего и красного цвета мы потратили поровну. Но ведь и в каждом параллелограмме, и в нашем 100-угольнике синего и красного цвета было использовано поровну. Поэтому если их стереть и оставить только два треугольника, то в них тоже синего и красного поровну. Другими словами, если у одного есть синяя горизонтальная сторона какой-то длины, то у другого есть красная горизонтальная сторона такой же длины!
Аналогично докажем, что остальные стороны треугольников попарно равны.
Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.
Решение 2
Для каждой фигуры — параллелограмма и треугольника — рассмотрим все вершины фигур на границе. Для каждой фигуры проведём между соседними точками на границе векторы так, чтобы их направление соответствовало обходу границы фигуры против часовой стрелки.
Рассмотрим произвольную прямую $\ell$ и все векторы, параллельные ей. Сумма этих векторов равна нулю. Действительно, к каждой линии разреза, параллельной $\ell$, примыкают наборы противоположных векторов. Если $\ell$ параллельна каким-то сторонам 100-угольника, то сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам 100-угольника, также равна нулю, так как они будут направлены в противоположные стороны и равны по длине. С другой стороны, в каждом параллелограмме сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам, равна нулю. Следовательно, и в двух треугольниках сумма всех векторов, параллельных $\ell$, также будет нулевой. Выберем в качестве $\ell$ прямую, параллельную какой-нибудь из сторон первого треугольника. Получим, что набор векторов второго треугольника, параллельных $\ell$, — это векторы, противоположные векторам первого треугольника. Аналогично для двух других сторон. Поэтому для каждой стороны первого треугольника существует параллельная и равная ей по длине сторона второго треугольника. Следовательно, треугольники равны.
Комментарии.
1. Разрезания из условия существуют, причём они могут быть устроены достаточно несимметричным образом: например, стороны треугольников могут не все быть параллельными сторонам 100-угольника, треугольники могут не образовывать параллелограмм, не примыкать к сторонам 100-угольника, они могут быть несимметричны относительно центра 100-угольника. На рисунке приведён пример разрезания $10$-угольника. По ссылке можно посмотреть, как могут выглядеть разбиения при различном положении треугольников.
2. Другое решение задачи можно получить, рассматривая цепочки параллелограммов аналогично решению задачи 3 параграфа 12 книги В.В.Произволова «Задачи на вырост».
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| год/номер | |
| Номер | 44 |
| Дата | 2022/23 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
| задача | |
| Номер | 7 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Год | 2023 |
| Номер | 86 |
| класс | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| год/номер | |
| Номер | 44 |
| Дата | 2022/23 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
| задача | |
| Номер | 4 |
