Задача 67160
|
|
 |
Условие
Даны два взаимно простых числа p, q, больших 1 и различающихся больше, чем на 1. Докажите, что найдётся натуральное n, для которого НОК(p + n, q + n) < НОК(p, q).Решение
Можно считать, что число $m = q - p$ не меньше 2. При этом НОД(p, m) = НОД(p, q) = 1. Числа p и q сравнимы по модулю m, но не кратны m, значит, после увеличения их на некоторое натуральное число $n < m$, станут кратными m.Докажем, что такое n будет искомым. Заметим, что $(p – 1)(q – 1) > 1⋅m \geqslant n + 1$, то есть $pq > p + q + n$. Поэтому $pqm \geqslant pq(1 + n) > pq + n(p + q + n) = (p + n)(q + n)$.
Поделив на m = НОД(p + n, m) = НОД(p + n, q + n), получим pq > НОК(p + n, q + n).
