Задача 67159
|
|
 |
Условие
Какой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида $ax$² + $bx + c$ = 0, где $a, b$ и $c$ – натуральные числа, не превосходящие 100?Решение
Заметим, что – 1/99 – корень уравнения $99x^2 + 100x$ + 1 = 0.
Докажем максимальность. Ясно, что корень $x$ такого уравнения, как в условии, отрицателен. Пусть |$x$| < 1/99. Тогда знаменатель $q$ несократимой дроби $|x|$ больше 99. Но, как известно, $q$ – делитель старшего коэффициента $a$, то есть он не больше 100. Значит, $q$ = 100, а |$x$| = 0,01. Следовательно, $ax^2 + bx + c$ > 0 - 100·0,01 + 1 = 0. Противоречие.
