ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67159
Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида $aх^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ – натуральные числа, не превосходящие 100?

Решение

Заметим, что $-\frac{1}{99}$ – корень уравнения $99x^2 + 100x + 1 = 0$. Докажем максимальность. Ясно, что корень x такого уравнения, как в условии, отрицателен. Пусть $|x| < \frac{1}{99}$. Тогда знаменатель $q$ несократимой дроби $|x|$ больше $99$. Но, как известно, $q$ – делитель старшего коэффициента $a$, то есть он не больше $100$. Значит, $q = 100$, а $|x| = 0,01$. Следовательно, $ax^2 + bx + c > 0 - 100 \cdot 0,01 + 1 = 0$. Противоречие.

Ответ

$-\frac{1}{99}$

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 44
Дата 2022/23
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .