ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 67120
УсловиеСредняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ – середина дуги $AC$, не содержащей точку $B$. На отрезке $DI$ отметили точку $L$ такую, что $DL=BI/2$. Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами.РешениеОтразив $X$ относительно биссектрисы угла $B$, получим точку $X'$ на луче $BY$. Надо доказать, что четырехугольник $ILYX'$ – вписанный, т.е., что $BI\cdot BL=BX\cdot BY$. Заметим, что $L$ – середина $BI_B$, где $I_B$ – центр вневписанной окружности. Тогда нужно доказать, что $2BX\cdot BY=BI\cdot BI_B=AB\cdot BC$. Пусть $X''$ – точка пересечения $AC$ и $BX$. Тогда треугольники $X''BA$ и $CBY$ подобны, поскольку $\angle BX''A=\angle BXY=\angle BCY$ и $\angle XBA=\angle CBY$, откуда получаем искомое равенство. ЗамечанияРавенство $BI\cdot BL=BX\cdot BY$ можно также получить, применив композицию инверсии с центром $B$ и симметрии относительно биссектрисы угла $ABC$, меняющей $X$ и $Y$ местами.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |