|
|
 |
Условие
В ряд записаны $n > 2$ различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим $n$ числам тоже удалось записать в ряд (возможно, в другом порядке) так, что каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину (возможно, иную, чем в первом случае). Чему могло равняться $n$?
Решение
Примеры: –1, ½, 2 и –3, –1, 1, 3.
Оценка. Если чисел больше 4, то среди них есть три одного знака (пусть положительных). Выберем три наименьших их них: –$a - d, a, a + d$,– где $0 < d < a$. Обратные числа будут идти в обратном порядке: $\frac{1}{a-d} > \frac{1}{a} > \frac{1}{a+d}$, но $\frac{1}{a-d} - \frac{1}{a} = \frac{d}{a(a-d)} \ne \frac{d}{a(a+d)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+d}$.
Ответ
3 или 4.
Замечания
Оба примера единственны с точностью до постоянного множителя.
5 баллов.
