|
|
 |
Условие
Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны.
Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.
Решение
Обозначим радиусы шести равных окружностей через $r$, а их центры – через $A, B, C, D, E, F$ в порядке обхода против часовой стрелки. Рассмотрим треугольник $ACE$. Заметим, что если уменьшить на $r$ радиус вписанной окружности исходного треугольника, содержащего треугольник $ACE$, оставив центр тем же, то получится вписанная окружность треугольника $ACE$ (см. рис.).
Аналогично радиус вписанной окружности треугольника $BDF$ на $r$ меньше радиуса вписанной окружности исходного треугольника, содержащего $BDF$. Таким образом, утверждение задачи эквивалентно равенству радиусов
вписанных окружностей треугольников $ACE$ и $BDF$.
Опустим перпендикуляры из $AA_1$ на $BF$, $BB_1$ на $AC$ и т.д. Обозначим точку пересечения отрезков $AB_1$ и $A_1B$ через $X$. Несложно видеть, что длины отрезков $AA_1, BB_1$, ..., равны 2$r$. Заметим, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ вписанный, поскольку ∠$AA_1B$ = ∠$AB_1B$, а так как $AA_1 = BB_1$, то он является равнобокой трапецией с основаниями $AB$ и $A_1B_1$. Следовательно, $\triangle AXA_1 = \triangle BXB_1$ и $AB_1 = A_1B$. Рассматривая трапеции $BB_1C_1C$, $CC_1D_1D$, ..., получаем аналогичные равенства треугольников и отрезков (см. рис.; на нём закрашены три пары равных треугольников из шести).
Несложно видеть, что $P_{ACE} = AB_1 + B_1C + CD_1 + D_1E + EF_1 + F_1A = A_1B + BC_1 + C_1D + DE_1 + E_1F + FA_1 = P_{BDF}$. Также равны площади треугольников $ACE$ и $BDF$, поскольку при вырезании из них общего шестиугольника остаётся по шесть прямоугольных треугольников, разбивающихся на пары равных.
Поскольку площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности и полупериметра, то из равенства площадей и равенства периметров двух треугольников следует равенство радиусов вписанных в них окружностей.
Замечания
1. Существуют весьма несимметричные примеры конструкции, описанной в задаче, вроде того, что изображён на рисунке. В частности, нельзя утверждать ни что исходные треугольники равны между собой, ни что вписанные в них окружности совпадают (т.е. что шестиугольник пересечения описанный).
2. 10 баллов.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| год/номер | |
| Номер | 43 |
| Дата | 2021/22 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
| задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 85 |
| Год | 2022 |
| класс | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 85 |
| Год | 2022 |
| класс | |
| Класс | 10 |
| задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| год/номер | |
| Номер | 43 |
| Дата | 2021/22 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
| задача | |
| Номер | 3 |
