|
|
 |
Условие
Вписанная окружность касается сторон $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $N, K$ и $M$ соответственно. Прямые $MN$ и $MK$ пересекают биссектрису внешнего угла $B$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что прямые $RK$ и $SN$ пересекаются на вписанной окружности треугольника $ABC$.
Решение
Пусть $X$ – точка пересечения $RK$ и $SN$. Прямые $NK$ и $RS$ параллельны, поскольку перпендикулярны биссектрисе угла $B$. Угол $NMK$ равен углу $NKB$ между касательной и хордой, а последний – углу $SBK$ по доказанной параллельности. Следовательно, четырёхугольник $RBKM$ вписанный. Поэтому $\angle RKM = \angle RBM$. Аналогично $\angle SNM = \angle SBM$. Но углы $RBM$ и $SBM$ дают в сумме 180°, значит, и углы $XKM$ и $XNM$ – тоже. Следовательно, четырёхугольник $NMKX$ вписанный, что и требовалось.
Замечания
1. Для знатоков. Утверждение верно не только для биссектрисы внешнего угла, но и для любой прямой, проходящей через точку $B$. Дело в том, что для любой точки $X$ вписанной окружности точка пересечения прямых $MK$ и $NX$, точка пересечения $MN$ и $KX$ и точка $B$ пересечения касательных в точках $K$ и $N$ лежат на одной прямой (это частный случай теоремы Паскаля для вписанной шестизвенной замкнутой ломаной $MKKBNN$).
2. 9 баллов
