Задача 66266

Темы:    [ Неравенства с высотами ] [ Неравенства с биссектрисами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.

Решение

  Пусть в треугольнике ABC  ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C.  Тогда высоты h_a, h_b, h_c удовлетворяют неравенству  h_a ≤ h_b ≤ h_c  и аналогичное неравенство выполнено для биссектрис l_a, l_b, l_c (см. задачу 55186). Рассмотрим два случая.
  1)  ∠B ≥ 60°.  Тогда  ∠A – ∠B ≤ ∠B – ∠C.  Поэтому  ^h_c/_lc = cos ½(∠A – ∠B) ≥ cos ½(∠B – ∠C) = ^h_a/_la.  Аналогично  ^h_c/_lc ≥ ^h_b/_lb.  Значит, из неравенства  h_c < h_a + h_b  следует, что  l_c < l_a + l_b.
  2)  ∠B ≤ 60°.  Тогда  ∠C > 30°  (так как  ∠A < 90°).   Поэтому  l_a ≥ h_a = AC sin∠C > ^AC/₂  и  l_b ≥ ^BC/₂.  Но биссектриса l_c не превосходит соответствующей медианы, которая меньше полусуммы сторон AC и BC. Следовательно,  l_c < l_a + l_b.

Замечания

При разборе первого случая не использовалось условие остроугольности треугольника, а при разборе второго – то, что из высот можно сложить треугольник. Тем не менее, оба условия являются необходимыми. Пример тупоугольного треугольника, для которого из высот можно сложить треугольник, а из биссектрис нет, приводится в решении задачи 64978.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	9
задача
Номер	9.7