ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66239
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
[ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?


Решение

  Очевидно, что четыре круга расположить требуемым образом можно.
  Пусть есть пять кругов K1, ..., K5, удовлетворяющих условию, и aij – общая хорда кругов Ki и Kj. Отрежем от круга K1 сегмент, ограниченный хордой a12 и целиком лежащий в K2. Проделав так для каждой пары кругов, мы получим пять выпуклых криволинейных восьмиугольников M1, ..., M5, каждый из которых имеет четыре стороны-хорды и четыре стороны-дуги. Каждые два из этих восьмиугольников имеют общую сторону-дугу, и никакие три не имеют общих точек. Пусть хорды a12, a13, a14, a15 расположены в этом порядке при обходе границы M1 по часовой стрелке. Проведя отрезки, соединяющие середины хорд a12, a24, a14, получим треугольник T, каждая сторона которого лежит внутри одного из восьмиугольников (M1, M2 и M4), а вершины – на указанных хордах. Поскольку отрезок, соединяющий середины хорд a13, a15, пересекает сторону T (соединяющую a12 с a14), один из многоугольников M3, M5 лежит внутри T, а другой снаружи. Но тогда они не имеют общей стороны. Противоречие.


Ответ

4 круга.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 12

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .