Задача 65818

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами?
Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство:  n² < a³ < b³ < (n + 1)²?

Решение

Заметим, что  n² < a⁴,  то есть  n < a².  Значит, даже  (a + 1)³ > a³ + 2a² + 1 > n² + 2n + 1 = (n + 1)².

Ответ

Нельзя.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1