ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64921
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Формула Эйлера ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки C одной окружности проведены к другой касательные CA, CB, вторично пересекающие первую окружность в точках B', A'. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке Z. Найдите угол XZY.


Решение

  Пусть O, O' – центры окружностей. Легко видеть, что  OO' = .  По формуле Эйлера эти окружности для треугольника A'B'C являются описанной и вневписанной, то есть прямая A'B' касается второй окружности в точке C'. Согласно задаче 56915 точка C' лежит на прямой CZ (см. рис.).

  При этом  ∠AO'A' = ∠AO'C' + ½ ∠C'O'B = 2∠ABC' + ∠C'AB = ∠CB'A' + ½ ∠CA'B'  (четырёхугольники AB'C'O' и BA'C'O' – вписанные),
O'A'O = ∠O'A'B' + ∠B'A'O = π/2 – ∠C'O'A' + π/2 – ∠CA'B' = π – ∠BCA – ½ ∠CA'B' = ∠CB'A' + ½ ∠CA'B',  и, так как  O'A = OA',  то AO'A'O – равнобедренная трапеция. Поэтому ∠O'AA' = ∠A'OO'.
  Аналогично  ∠O'BB' = ∠B'OO'.  Следовательно,  ∠A'ZB' = 2π – ∠AO'B – ∠A'OB' = π – ∠C,  то есть точка Z лежит на описанной окружности треугольника и  ∠XZY = 150°.


Ответ

150°.

Замечания

1. Формула Эйлера для вписанной окружности доказана в задаче 52464. Использованная здесь формула Эйлера для вневписанной окружности
(OJ² = R² + 2Rr,  где O и R – центр и радиус описанной окружности, а J и r – центр и радиус вневписанной окружности) доказывается аналогично.

2. Доказать, что точка Z лежит на окружности, можно и по-другому. При изогональном сопряжении относительно треугольника A'B'C Z перейдёт в центр гомотетии окружностей, который в силу равенства их радиусов является бесконечно удаленным.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
тур
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .