|
|
 |
Условие
Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A1, сторону LM в точках B и B1, и т.д. Докажите что
а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD1A1, LA1B1, MB1C1 и NC1D1 также пересекаются в одной точке Q;
б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.
Решение
а) Пусть A2B2 – переменная хорда окружности, равная A1B1, то есть полученная из A1B1 поворотом вокруг центра O. Легко видеть, что описанная окружность треугольника LAB будет геометрическим местом точек K' = AA2 ∩ BB2 при вращении хорды A2B2. Тогда, так как точка P является пересечением четырёх таких ГМТ, прямые AP, BP, CP и DP пересекают окружность в точках A', B', C', D', образующих четырёхугольник, равный A1B1C1D1. Рассмотрим поворот вокруг O, переводящий A'B'C'D' в A1B1C1D1, а P в некоторую точку Q. Прямые A1Q, B1Q, C1Q и D1Q пересекают окружность в четырёх точках, образующих четырёхугольник, равный ABCD. Применив аналогичные рассуждения к описанным окружностям треугольников KD1A1, LA1B1, MB1C1 и NC1D1, получим, что все они проходят через Q.
б) Так как OQ – образ OP при повороте, то OP = OQ.
