ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64736
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.


Решение

  Через  ∠(k, l)  будем обозначать направленный угол между прямыми k и l (считающийся против часовой стрелки).
  При повороте на 60° по часовой стрелке вокруг B точки A и C переходят соответственно в X и Y. Следовательно,  ∠(XY, AC) = 60°.  Пусть P – точка пересечения прямых XY и AC. Тогда  ∠(XP, AP) = 60° = ∠(XB, AB), то есть точки A, X, P, B лежат на одной окружности. Отсюда
∠(CP, PB) = ∠(AX, XB) = 60° = ∠(CY, YB),  то есть точки B, C, P, Y также лежат на одной окружности. Таким образом, точка P является второй точкой пересечения прямой XZ и описанной окружности треугольника BCY. Аналогично показывается, что прямая BD также проходит через эту точку. (В случае, если эти окружность и прямая касаются, P совпадает с Y, и все три прямые проходят через Y.)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2010
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .