|
|
 |
Условие
Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?
Решение
За 4 хода Петя не сможет гарантированно выиграть: если Вася закрасит две точки в красный цвет, а две – в синий, то одноцветных треугольников не будет.
Покажем как выиграть за 5 ходов. Первыми тремя ходами Петя отметит на плоскости точки, являющиеся вершинами треугольника ABC, подобного исходному. Если Вася покрасит все отмеченные точки в один цвет, тогда Петя уже победил.
Пусть вершины A и B покрашены в красный цвет, а C – в синий. Тогда следующими двумя ходами Петя отмечает в той же полуплоскости относительно прямой AB, что и точка C, такие точки P и Q, что треугольники ABC, PAB и BQA подобны (см. рис.).
Если Вася покрасит хотя бы одну из точек P и Q в красный цвет, то образуется треугольник, подобный исходному, у которого все вершины красные. Если же Вася покрасит обе эти вершины в синий, то образуется "синий" треугольник CPQ, который также подобен исходному. Докажем это.
Первый способ. ∠CAQ = ∠CAB – ∠QAB = ∠CAB – ∠ACB = ∠QBA – ∠PBA = ∠PBQ, а также
Следовательно, треугольники CAQ и PBQ подобны, причём коэффициент подобия равен
.
Значит, ∠CQP =∠CQA + ∠AQP = ∠CQA + ∠AQB – ∠PQB = ∠AQB = ∠CBA и , откуда следует подобие треугольников CQP и CBA.
Второй способ. Отметим точки C', P' и Q', симметричные точкам C, P и Q относительно серединного перпендикуляра к AB (см. рис.).
Из равенств углов очевидно следует, что каждая тройка точек A, C, Q'; A, P', Q; A, P, C' и B, P', C; B, P, Q'; B, C', Q лежит на одной прямой.
∠ACB = ∠QAB = ∠AQQ', поэтому четырёхугольник CQ'QP' вписан. Серединный перпендикуляр к QQ' совпадает с серединным перпендикуляром к AB и проходит через центр описанной окружности четырёхугольника CQ'QP'. Значит, эта окружность симметрична относительно него, а следовательно, на ней лежат еще и точки C' и P.
Из вписанности шестиугольника Q'QC'PP'C следует, что
∠ACB = ∠Q'BA = ∠BQ'Q = ∠PCQ и ∠CBA = ∠BQ'A = ∠CQP. Получаем подобие треугольников ABC и PQC по двум углам.
Ответ
За 5 ходов.
Замечания
1. То же можно изложить на языке комплексных чисел.
После того, как Вася покрасил точки A и B в красный, а C – в синий цвет, рассмотрим комплексную плоскость, на которой C, A, B являются точками 0, z, z² соответственно (нетрудно проверить, что нужное комплексное число z найдётся). Добавим последовательно точки w (Q) и wz (P), где w = z² – z + 1. Тогда треугольники CAB, ABP, BQA и CQP подобны. Действительно, треугольники CAB и CQP получаются из треугольника Δ с вершинами 0, 1, z умножением соответственно на z и w; треугольник BQA получается из Δ умножением на 1 – z и сдвигом на z², а треугольник ABP получается из Δ умножением на z² – z и сдвигом на z.
2. Для равнобедренного треугольника также хватает пяти ходов, а вот для равностороннего треугольника потребуется уже шесть.
3. 8 баллов.
