Условие
В квадрате ABCD на стороне ВС взята точка М, а на стороне CD – точка N так, что ∠MAN = 45°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника AMN принадлежит диагонали АС.
Решение 1
MN – диаметр описанной окружности треугольника СMN (см. рис). Пусть эта окружность пересекает диагональ АС в точке О.
Так как СО – биссектриса угла MCN, то OM = ON. Так как ∠MAN = ½ ∠MОN, то окружность с центром О, которая проходит через точки M и N, содержит также и точку А, то есть является описанной окружностью треугольника AMN.
Решение 2
Так как точка А лежит на биссектрисе угла С треугольника MCN и ∠MAN = 90° – ½ ∠MСN, то А – центр вневписанной окружности треугольника MCN (см. задачу 55448). Пусть I – центр вписанной окружности треугольника MCN (см. рис.), тогда ∠AMI = ∠ANI = 90°, значит, точки M и N лежат на окружности с диаметром AI. Следовательно, центр О описанной окружности треугольника AMN лежит на АС.
Решение 3
Отразим вершины В и D относительно прямых АМ и АN соответственно (см. рис.). Так как ∠MAB + ∠NAD = 45° = ∠MAN, то их образы B' и D' лежат на одном луче с началом в точке А. Кроме того, ∠АВ'M = ∠АВC = 90° и ∠АD'N = ∠АDC = 90°, поэтому точки B' и D' лежат на отрезке MN. Таким образом, B' и D' – это одна и та же точка K, которая является основанием высоты треугольника MAN.
Согласно задаче 52358 ∠KAM = ∠OAN. Значит, ∠OAD = ∠OAN + ∠NAD = ∠KAM + ∠NAD = ∠MAB + ∠NAD = 45°, то есть точка О лежит на АС.
