Задача 64415

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Итерации ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 4 Классы:

Условие

Решите систему
    y² = 4x³ + x – 4,
    z² = 4y³ + y – 4,
    x² = 4z³ + z – 4.

Решение

  Функция  4x³ + x – 4  отрицательна при  x ≤ 0,  поэтому все неизвестные положительны. Функция  4x³ – x² + x – 4  возрастает на всей числовой оси и обращается в ноль при  x = 1.  Поэтому, если  x > 1,  то  y² = 4x³ + x – 4 > x² > 1.  Тогда, аналогично,  z² > x²  и
x² > z² > y² > x²,  что невозможно. Аналогично приводит к противоречию предположение  x < 1.

Ответ

(1, 1, 1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.068