Задача 64388

Темы:    [ Четырехугольники (построения) ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Симметрия и построения ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке L. В треугольнике ABL отметили точку пересечения высот H, а в треугольниках BCL, CDL и DAL – центры O₁, O₂ и O₃ описанных окружностей. Затем весь рисунок, кроме точек H, O₁, O₂, O₃, стерли. Восстановите его.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABL (см. рис.). Тогда прямые OO₁ и O₂O₃ перпендикулярны BD, а прямые O₁O₂ и O₃O перпендикулярны AC. Следовательно, OO₁O₂O₃ – параллелограмм. Построив его, мы восстановим серединные перпендикуляры OO₁ и OO₃ к сторонам LB и LA треугольника ABL. Прямые h_a, h_b, проходящие через ортоцентр H этого треугольника и параллельные OO₁ и OO₃, являются высотами этого треугольника, то есть проходят через точки A и B соответственно. Поэтому прямые, симметричные h_a, h_b относительно соответственно OO₃, OO₁, пересекаются в точке L. Дальнейшее построение очевидно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4