Задача 61413

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства ] [ Неравенство Иенсена ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если  α < β  и  αβ ≠ 0,   то  S_α(x) ≤ S_β(x).
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Решение

  Пусть  

      Выражение в скобках неотрицательно в силу неравенства Иенсена (см. задачу 61407), примененного к выпуклой функции  x ln x  и точкам     Следовательно,  S_α(x) – возрастающая функция от α, что доказывает утверждение задачи для случаев  α < β < 0  и  0 < α < β.  Случай   α < 0 < β разобран в задаче 61414.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	3
Название	Выпуклость
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.062