Задача 61414

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Предел функции ] [ Неравенство Иенсена ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если  α < 0 < β,  то   S_α(x) ≤ S₀(x) ≤ S_β(x),  причём  
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Решение

  Оба неравенства следуют из неравенства Иенсена (см. задачу 61407), применённого к функции  f(x) = e^αx  и точкам  ln x₁, ..., ln x_n.
  Для подсчёта пределов воспользуемся приближённой формулой для функции e^x, которая верна на отрезке  x ∈ [–1, 1]:  e^x = 1 + x + θx²  (|θ| < 1).
  При достаточно малом α получим  
  где  A = θ₁n^–2(ln²x₁ + ... + ln²x_n),  B = θ₂n^–2 ln²(x₁...x_n),  |θ₁|, |θ₂| < 1.  Поэтому

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	3
Название	Выпуклость
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.063