Задача 61266

Тема:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Решите уравнение     Сколько действительных корней оно имеет?

Решение

Формула Кардано даёт     Поскольку подкоренное выражение в формуле Кардано равно нулю, уравнение должно иметь еще кратный корень (см. задачу 61265). Действительно, поделив на  x – x₁,  получаем квадратное уравнение
x² + x₁x + ¼ = 0,  откуда  x_2,3 = – ½ x₁.

Ответ

Замечания

Согласно решению задачи 61262 при  a = b  (как в нашем случае) один корень равен  a + b = 2a,  а кратный корень можно найти по формуле  ωa + ω²b = (ω + ω²)a = – a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.015