Задача 61047

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
  а)  4x³ – 18x² + 24x = 8,     4x³ – 18x² + 24x = 9;
  б)  4x³ – 18x² + 24x = 11,     4x³ – 18x² + 24x = 12?

Решение

  По формулам Виета сумма квадратов корней каждого из четырёх уравнений, включая комплексные, равна  (¹⁸/₄)² – 2·6 = 8,25.  Найдем количество действительных корней каждого из уравнений.
  Производная функции  f(x) = 4x³ – 18x² + 24x  равна  12(x² – 3x + 2)  и обращается в ноль в точках  x₁ = 1  и  x₂ = 2.  При этом  f(1) = 10,
f(2) = 8.

  а) Оба уравнения имеют по три корня (у второго есть кратный корень  x₂ = 2).  Поэтому суммы их квадратов одинаковы.

  б) Оба уравнения имеют по одному корню, причем в силу возрастания функции f на участке  (2, + ∞)  корень второго уравнения больше.

Ответ

а) Одинакова;  б) у второго уравнения больше.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.124