Условие
Докажите, что сумма внутренних углов любого
n-угольника равна
(
n - 2) 180
o.
Решение
Докажем это утверждение по индукции. При
n = 3 оно
очевидно. Предположим, что оно доказано для всех
k-угольников,
где
k <
n, и докажем его для любого
n-угольника. Любой
n-угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника
(см. задачу
22.20, а)). Если число сторон одного из них равно
k + 1,
то число сторон второго равно
n -
k + 1, причем оба числа меньше
n.
Поэтому суммы углов этих многоугольников равны
(
k - 1)
. 180
o и
(
n -
k - 1)
. 180
o соответственно. Ясно
также, что сумма углов
n-угольника равна сумме углов этих
многоугольников, т. е. она равна
(
k - 1 +
n -
k - 1)
. 180
o = (
n - 2)
. 180
o.
Источники и прецеденты использования
