|
|
 |
Условие
а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.
Решение
а) Если многоугольник выпуклый, то утверждение очевидно. Предположим теперь, что внутренний угол многоугольника при вершине A больше 180°. Видимая часть стороны видна из точки A под углом меньше 180°, поэтому из точки A видны части по крайней мере двух сторон. Следовательно, существуют лучи, выходящие из точки A, на которых происходит смена (частей) сторон, видимых из точки A (на рис. изображены все такие лучи). Каждый из этих лучей задаёт диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.
б) Из рис. видно, как построить n-угольник, у которого ровно n – 3 диагонали лежат внутри его. Остаётся доказать, что у любого n-угольника есть по крайней мере n – 3 диагонали. При n = 3 это утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для всех k-угольников, где k < n, и докажем его для n-угольника. Согласно а) n-угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника: (k+1)-угольник и (n–k+1)-угольник, причём k + 1 < n и n – k + 1 < n. У них имеется соответственно по крайней мере (k + 1) – 3 и (n – k + 1) – 3 диагоналей, лежащих внутри. Поэтому у n-угольника имеется по крайней мере 1 + (k – 2) + (n – k – 2) = n – 3 диагонали, лежащих внутри.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 22 |
| Название | Выпуклые и невыпуклые многоугольники |
| Тема | Выпуклые и невыпуклые фигуры |
| параграф | |
| Номер | 6 |
| Название | Невыпуклые многоугольники |
| Тема | Невыпуклые многоугольники |
| задача | |
| Номер | 22.020 |
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1975 |
| выпуск | |
| Номер | 12 |
| Задача | |
| Номер | М358 |
