Задача 58036

Тема:    [ Окружность подобия трех фигур ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Условие

Докажите, что окружностью подобия треугольника ABC является окружность с диаметром KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.

Решение

Пусть O_a — точка пересечения окружности, проходящей через точку B и касающейся прямой AC в точке A, и окружности, проходящей через точку C и касающейся прямой AB в точке A. Согласно задаче 19.41, б) точка O_a является центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок BA в отрезок AC. Определив аналогично точки O_b и O_c и воспользовавшись результатом задачи 19.49, б), получим, что прямые AO_a, BO_b и CO_c пересекаются в точке, лежащей на окружности подобия S. С другой стороны, эти прямые пересекаются в точке Лемуана K (см. задачу 5.128).
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника являются соответственными прямыми рассматриваемых подобных фигур. Они пересекаются в точке O, поэтому точка O лежит на окружности подобия S (см. задачу 19.51, а)); кроме того, эти прямые пересекают окружность S в постоянных точках A₁, B₁ и C₁ треугольника ABC (см. задачу 19.51, б)). С другой стороны, прямые, проходящие через точку K параллельно BC, CA и AB, тоже являются соответственными прямыми рассматриваемых фигур (см. решение задачи 5.132), поэтому они тоже пересекают окружность S в точках A₁, B₁ и C₁. Следовательно, OA₁ A₁K, т. е. OK — диаметр окружности S.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	8
Название	Окружность подобия трех фигур
Тема	Окружность подобия трех фигур
задача
Номер	19.054