Задача 56991

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. Докажите, что K — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁.

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC;  a₁, b₁, c₁ и  a₂, b₂, c₂ — расстояния от точек K и M до сторон треугольника. Так как точки K и M изогонально сопряжены, то  a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂; кроме того,  aa₂ = bb₂ = cc₂ (см. задачу 4.1). Следовательно,  a/a₁ = b/b₁ = c/c₁. Используя это равенство и учитывая, что площади треугольников  A₁B₁K, B₁C₁K и C₁A₁K равны  a₁b₁c/4R, b₁c₁a/4R и  c₁a₁b/4R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC, получаем, что площади этих треугольников равны. Кроме того, точка K лежит внутри треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, K — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁ (см. задачу 4.2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.132