ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57906
Тема:    [ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.

Решение

Предположим, что некоторое движение можно представить в виде композиции как чётного, так и нечётного числа симметрий относительно прямых. Тогда, с одной стороны, согласно задаче 17.37 это движение является скользящей симметрией относительно некоторой прямой l. Поэтому оно переводит прямую l в себя, но никакую другую прямую, параллельную l, оно в себя не переводит. Кроме того, скользящая симметрия либо не оставляет никакие точки неподвижными, либо оставляет неподвижными все точки прямой l. С другой стороны, согласно задаче 17.36 рассматриваемое движение является поворотом или параллельным переносом. Но поворот оставляет неподвижной ровно одну точку, а параллельный перенос переводит в себя каждую прямую некоторого семейства параллельных прямых.
Замечание. Если воспользоваться таким понятием, как направление обхода окружности, то можно сказать, что собственное движение сохраняет направление обхода, а несобственное — изменяет. Но если попытаться дать аккуратное определение этого понятие, то основанное на этом решение задачи 17.37-B будет не таким уж коротким.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 17
Название Осевая симметрия
Тема Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер 6
Название Теорема Шаля
Тема Композиции движений. Теорема Шаля
задача
Номер 17.037-B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .