Задача 56992

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K треугольника ABC на стороны BC, CA и AB. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B₁C₁.

Решение

Медианы треугольника A₁B₁C₁ пересекаются в точке K (задача 5.132), поэтому стороны треугольника ABC перпендикулярны медианам треугольника A₁B₁C₁. После поворота на  90^o стороны треугольника ABC станут параллельны медианам треугольника A₁B₁C₁, а значит, медианы треугольника ABC станут параллельны сторонам треугольника A₁B₁C₁ (см. задачу 13.2). Поэтому медианы треугольника ABC перпендикулярны сторонам треугольника A₁B₁C₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.133