В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = 120°.  Найдите общую хорду описанной окружности треугольника ABC и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов A и C, если  AC = 1.

   Решение

В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?

   Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

   Решение

На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?

   Решение

Через две точки, лежащие в круге, провести окружность, лежащую целиком в том же круге.

   Решение

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃ и O₄ – центры ромбов, построенных на сторонах AB, BC, CD и DA, M – середина диагонали AC. Тогда  MO₁ = MO₂  и  ∠O₁MO₂ = α  (см. задачу 56505). Аналогично  MO₃ = MO₄  и  ∠O₃MO₄ = α.  Следовательно, при повороте на угол α относительно точки M треугольник O₁MO₃ переходит в O₂MO₄.

Источники и прецеденты использования