Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число d. Какое максимальное значение может принимать число d для всевозможных наборов камней?

   Решение

Объединение нескольких кругов имеет площадь 1. Доказать, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов, сумма площадей которых больше . (Сравни с задачей 78201.)

   Решение

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD окружности проходит через точку M и пересекает прямую AB под углом в 45°.
Докажите, что величина  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно прямой AB.

Решение

Пусть C₁ – точка, симметричная точке C относительно прямой AB. Точка C₁ лежит на данной окружности, так как сама окружность симметрична относительно диаметра AB. Поскольку  ∠C₁MD = 90°,  то   CM² + DM² = C₁M² + DM² = C₁D²,  а ∠C₁CD = ∠AMD = 45°.  Поэтому длина C₁D, а значит, и сумма  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования