Условие
Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную
1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно
неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее
.
Решение
Выберем круг наибольшего радиуса, раздуем его в три раза и
выбросим все круги, целиком лежащие в этом раздутии. Оставшиеся
круги не пересекаются с первым. Для них проделаем то же самое и
т. д. Раздутия всех выбранных кругов содержат все данные круги,
а площадь раздутия в 9 раз больше площади исходного круга,
поэтому 9
S
1, где
S — общая площадь всех выбранных
кругов. Следовательно,
S1/9.
Источники и прецеденты использования
