ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52494
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Ломаные ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
Название задачи: Задача Архимеда.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В дугу AB окружности вписана ломаная AMB из двух отрезков  (AM > MB).
Докажите, что основание перпендикуляра KH, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM, делит ломаную пополам.


Решение

  Первый способ. Отложим на продолжении отрезка AM за точку M отрезок MB1, равный MB. Пусть прямая KM пересекает отрезок BB1 в точке P. Тогда
BMB1 = ∠MAB + MBA = ½ (⌣ MB + ⌣MA) = ½ ⌣AKB = ⌣AK = 2∠KMA = 2∠B1MP.
  Поэтому прямая KP делит угол BMB1 равнобедренного треугольника BMB1 пополам. Значит, KP – серединный перпендикуляр к отрезку AB1. Следовательно,
KB1 = KB = AK.  Поэтому KH – серединный пенрпедикуляр к отрезку AB1, и  AH = HB1 = HM + MB. и   AH = HB1 = HM + MB.

  Второй способ. Отметим на отрезке AM такую точку B2, что  AB2 = MB  (пусть B2 лежит между точками A и H). Так как точки A и B лежат на окружности по одну сторону от хорды KM, то  ∠KAM = ∠KBM.  Кроме того,  AK = KB,  поэтому треугольники KAB2 и KBM равны. Значит,  KB2 = KM  и треугольник B2KM – равнобедренный. Его высота KH является медианой, поэтому H – середина B2M. Следовательно,  AH = AB2 + B2H = HM + MB.

  Третий способ. Пусть луч KH второй раз пересекает окружность в точке L, а прямые AM и LB пересекаются в точке B1. Вписанные углы ALK и BLK равны, так как каждый из них опирается на половину дуги AKB. Таким образом, высота LH треугольника ALB1 является его биссектрисой, поэтому треугольник ALB1 – равнобедренный. Значит,  AH = HB1  и  ∠MBB1 = ∠MAL = ∠MB1B.
  Поэтому треугольник B1MB – также равнобедренный и  MB = MB1.  Следовательно,  AH = HB1 = HM + MB1 = HM + MB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 157
журнал
Название "Квант"
год
Год 1986
выпуск
Номер 8
Задача
Номер М1000

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .