|
|
 |
Условие
На плоскости даны прямая l и две точки A и B по одну сторону от неё. На прямой l выбраны точка M, сумма расстояний от которой до точек A и B наименьшая, и точка N, для которой AN = BN. Докажите, что точки A, B, M, N лежат на одной окружности.
Подсказка
Точка, симметричная точке B относительно прямой l, лежит на окружности с центром в точке N и радиусом AN.
Решение
Пусть B1 – точка, симметричная точке B относительно прямой l. Тогда M – точка пересечения AB1 и l (см. задачу 55557).
По условию NA = NB = NB1, поэтому
точки A, B и B1 лежат на окружности с центром в точке N радиуса AN. Поскольку угол ANB центральный, то
∠ANB = 2∠AB1B = ∠AMB.
Значит, отрезок AB виден из точек M и N под одним углом. Следовательно, точки M, N, A и B расположены на одной окружности.
