Задача 116928

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Решите уравнение:  .

Решение

  Воспользуемся тем, что  a + a^–1 ≥ 2  при  а > 0  (см. эадачу 30861).
  Заметим, что  x = 1  является корнем данного уравнения и докажем, что других корней нет. Действительно, если  x < 1,  то  x²⁰¹² + x^–2012 ≥ 2 > 1 + x²⁰¹³;  а если  x > 1,  то  x²⁰¹² < x²⁰¹³,  а  x^–2012 < 1.  В обоих случаях равенство невозможно.

Ответ

x = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4.1