Задача 116903

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Штейнгарц Л.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA₁ и BB₁, которые пересекаются в точке O. Затем провели высоту A₁A₂ треугольника OBA₁ и высоту B₁B₂ треугольника OAB₁. Докажите, что отрезок A₂B₂ параллелен стороне AB.

Решение

Прямоугольные треугольники OA₁B и OB₁A подобны (см. рис.). Значит, их высоты A₁A₂ и B₁B₂ делят отрезки OB и OA в одном и том же отношении. Отсюда по обратной теореме Фалеса получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1