ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116745
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC и прямая l, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника ABC.


Решение 1

  Пусть O – центр треугольника, M и K – точки пересечения прямой l со сторонами AB и BC соответственно, C1 и A1 – середины сторон, M1 и K1 – образы точек M и K при указанной симметрии (рис. слева). Докажем, что O – центр вневписанной окружности треугольника M1BK1, откуда следует утверждение задачи.
  Воспользуемся известным фактом:
  сторона AC треугольника ABC видна из центра IB вневписанной окружности, касающейся стороны AC, под углом  90° – 1/2B.
  Очевидно, верно и обратное:
  если точка IB лежит на продолжении биссектрисы угла B треугольника ABC и  AIBC = 90°  – 1/2B,  то IB – центр вневписанной окружности треугольника ABC.
  Так как BO – биссектриса угла B, то достаточно доказать, что  ∠M1OK1 = 60°.  Заметим, что  ∠OM1M + ∠OK1K = ∠BMK + ∠BKM = 120°.  Тогда из четырёхугольника M1BK1O: ∠M1OK1 = 360° – (180° – ∠OM1M) – (180° – ∠OK1K) – 60° = 60°.

             


Решение 2

  Отразим отрезок MK относительно высот AA1 и CC1 треугольника ABC (рис. справа). Получим отрезки K1M2 и M1K2 (точки K2 и M2 лежат на стороне AC). Из симметрии  OM1 = OM = OM2  и  OK1 = OK = OK2.  Кроме того,  ∠M1OK1 = ∠M2OK2,  поэтому треугольники M1OK1 и M2OK2 равны, а следовательно, равны (и равны радиусу окружности) их высоты, проведённые из O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 10 (2012 год)
Дата 2012-04-8
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .