ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116643
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях BB1 и CC1 его высот за точки B1 и C1 выбраны соответственно точки P и Q так, что угол PAQ – прямой. Пусть AF – высота треугольника APQ. Докажите, что угол BFC – прямой.


Решение

  Точки B1 и C1 лежат на окружности, построенной на BC как на диаметре (см. рис.). Для решения достаточно доказать, что F также лежит на этой окружности.

  Точки B1 и F лежат на окружности с диаметром AP. Поэтому  ∠PFB1 = ∠PAB1.  Аналогично  ∠QFC1 = ∠QAC1.  Имеем
180° – ∠B1FC1 = ∠PFB1 + ∠QFC1 = ∠PAB1 + ∠QAC1 = ∠PAQ – ∠A = 90° – ∠A = ∠B1CC1.
  Таким образом, четырёхугольник CB1FC1 – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
Задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .