Задача 116437

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С₁, А₁ и В₁ соответственно так, что  ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = В₁С.
Докажите, что точка пересечения высот треугольника С₁А₁В₁ лежит на биссектрисе угла А.

Решение

  Так как треугольники ВС₁А₁ и А₁В₁С – равнобедренные, то  ∠С₁А₁В = ∠В,  ∠В₁А₁С = ∠С  (см. рис.). Тогда  ∠С₁А₁В₁ = 180° – (∠ В + ∠ С) = ∠ A.

  Пусть высоты треугольника С₁А₁В₁ пересекаются в точке Н₁. Этот треугольник – также равнобедренный, поэтому  H₁В₁ = H₁С₁.  Кроме того,
∠В₁Н₁С₁ = 180° – ∠С₁А₁В₁ = 180° – ∠A,  поэтому четырёхугольник АВ₁H₁С₁ – вписанный. Углы В₁АH₁ и С₁АH₁ опираются на равные хорды, значит, они равны.

Замечания

Если треугольник АВС – остроугольный, то точки С₁, А₁ и В₁ всегда можно выбрать так, как указано в условии. Иначе какие-то из этих точек могут оказаться на продолжениях сторон.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
Класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.3.2